"Auch Mathematiker gehen zuweilen auf Rekordjagd" formulierte die
Wochenzeitschrift DIE ZEIT am 17.5.1996 in ihrem Bericht über unseren
Primzahlzwillingsrekord. Hintergrund dieses "sportlichen Erfolges" war
die Entwicklung und Implementierung von Programmen für sehr schnelles
Rechnen mit sehr großen Zahlen, wobei "sehr große Zahlen" in
diesem Kontext Zahlen mit Milliarden von Binärstellen bedeuten. Wir
berichten hier über den ersten Einsatz dieser Programme in der Computational
Number Theory, der zu mehreren Weltrekorden führte, und skizzieren
weitere Anwendungsmöglichkeiten in der Numerik und Computeralgebra.
Primzahlen - Zufall oder Gesetz?
Uns allen ist bekannt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl
größer als 1, die durch keine weitere natürliche Zahl außer der 1 geteilt
wird. Dies ist auch die Definition der Zahlentheoretiker,
andere Mathematiker benutzen ab und zu andere Definitionen. So ist etwafür
den |
Funktionentheoretiker eine Primzahl die ganzzahlige
Wurzel einer gewissen analytischen Funktion, für den Algebraikerist
sie "die Charakteristik eines endlichen Körpers" oder "eine nicht-archimedische
Bewertung", und der Logiker definiert sie als die positiven Werte
eines geeigneten Polynoms mit 26 Variablen. Wir begnügen uns mit der
erstgenannten Definition.
Über die Verteilung der Primzahlen haben wir bereits seit
Euklid erste Informationen: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Seine Argumentation gilt bis heute als Paradebeispiel für einen eleganten
mathematischen Beweis, den wir alle in der Schule kennengelernt haben und
den auch die, für die Mathematik ein Horror war, verstehen konnten.
Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p1,....,
pn . Dann wäre das Produkt aller dieser Zahlen plus
eins - d.h. p1×...×
pn+1 - durch keine von ihnen teilbar und würde damit
durch eine Primzahl geteilt, die nicht unter den p1,....,
pn vorkommt. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme,
so daß es doch unendlich viele Primzahlen geben muß. |